Аналитические задачи в алгебраической теории чисел и диофантовой геометрии

Аналитические задачи в алгебраической теории чисел и диофантовой геометрии
978-5-4439-3118-0
978-5-4439-1118-2
Издательство МЦНМО

Если читатель, побродив по предгорьям алгебраической теории чисел и диофантовой геометрии и ознакомившись, в частности, с моей работой, пойдёт наверх, в горы, как это пытаюсь сделать я, значит, мой труд не пропал даром.

Своеобразное введение в современную аналитическую теорию чисел.

полистать litres




Первая глава состоит из коротких заметок. В первой из них рассматриваются классические задачи о распределении степенных вычетов и невычетов. Для этих задач получены асимптотические формулы с неулучшаемым остаточным членом. Безусловное (без предположения о справедливости гипотезы Римана) доказательство асимптотической формулы со степенным понижением для числа точек с взаимно простыми координатами в плоской «звёздообразной» области пока не получено. Исследования числа рациональных точек ограниченной высоты на многообразиях Фано (гипотеза Батырева—Манина) есть богатая бурно развивающаяся область диофантовой геометрии; полученная в третьей заметке асимптотическая формула — один из первых результатов в этой области. В связи с рассматриваемыми в четвёртой заметке задачами аналитической теории квадратичных форм следует заметить, что задача о распределении целых точек на двумерных гиперболоидах в общем случае пока не решена. Рассматриваемая в пятой заметке проблема модулярности эллиптических кривых, определённых над мнимыми квадратичными полями, есть важная открытая проблема арифметической геометрии. Рассмотрения в шестой заметке уточняют формулировку классической теоремы Бёрча о разрешимости диофантовых уравнений с большим числом переменных. Описанные в седьмой заметке полиномы позволяют в принципе свести любую математическую проблему к разрешимости некоторого диофантова уравнения.

Во второй главе описывается аналитическое поведение скалярных произведений L-рядов Артина—Вейля.

В третьей главе рассматриваются две открытые проблемы.
1. Дать явное описание моделей Нерона алгебраических торов, определённых над полем алгебраических чисел и не расщепимых над расширениями без высшего ветвления.
2. Описать целые модели определённого над полем алгебраических чисел аффинного торического многообразия и изучить распределение целых точек на этих моделях.

В четвертной главе речь идет о представлении простых чисел кубическими полиномами от двух переменных. Рассматривается некоторое обобщение теоремы Дирихле о простых числах в арифметических прогрессиях.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *