Аттракторы и их фрактальная размерность

Аттракторы и их фрактальная размерность
5-94057-201-4
978-5-4439-2323-9
Издательство МЦНМО

Теория размерности активно изучалась в начале XX в. в работах Хаусдорфа, П.С.Урысона и П.С.Александрова. Топология научилась отвечать на вопрос, что такое размерность множества. Идея топологической размерности, грубо говоря, состоит в следующем. Представим себе, что мы живём внутри множества, т. е. в мире, в котором нет точек, кроме тех, которые принадлежат нашему множеству. Живя в этом мире, можно с помощью формальных операций научиться отвечать на вопрос о том, какова его размерность.

Аттракторы и их хаусдорфова (фрактальная) размерность. Различные примеры отображений, порождающие как странные, так и классические аттракторы.

полистать globalf5 litres





Все процессы, происходящие вокруг нас (или почти все, если говорить более осторожно), описываются дифференциальными уравнениями. Отдельное состояние объекта в процессе определяется его положением в пространстве (тремя координатами) и скоростью (еще три координаты). То есть каждому состоянию можно сопоставить точку в шестимерном пространстве.
Итак, имеется пространство состояний, и к каждой точке этого пространства приложен вектор — он показывает, как состоянием меняется. Со временем состояние меняется — это и есть эволюция. Каждая точка будет двигаться по своей траектории и придёт в какое-то конечное положение, соответствующее времени, равному единице. Получается отображение, называемое преобразованием фазового потока за единицу времени.
Будем наблюдать нашу Вселенную, скажем, каждую тысячу лет, а остальное время отдыхать, и это будет означать, что мы наблюдаем действие одного и того же отображения сначала один раз через первую тысячу лет, затем второй раз через вторую тысячу лет и т. д.
Аттракторы — это множества, к которым приближаются точки при последовательных итерациях отображения. В качестве аттракторов могут выступать точки и линии. Легко также построить примеры отображений, у которых аттрактор будет гладкой поверхностью любой наперёд
заданной размерности, например, k-мерной сферой.
Однако в качестве аттракторов могут выступать и совсем сложные множества. Бывают так называемые странные аттракторы, не являющиеся поверхностями никакой размерности (в том числе нулевой и первой), а устроенные «рваным», негладким образом.
Например, Канторово совершенное множество:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *