Бомбейские лекции о представлениях со старшим весом бесконечномерных алгебр Ли

Бомбейские лекции о представлениях со старшим весом бесконечномерных
алгебр Ли

978-5-4439-2330-7
Издательство МЦНМО

,
,

Идея представления со старшим весом, воплощенная в четырех различных инкарнациях

В книге изучаются связи между представлениями наиболее важных бесконечномерных алгебр Ли: алгебры Ли бесконечных матриц, алгебры Вирасоро, алгебры Гейзенберга и аффинных алгебр Каца—Муди.

полистать


Эта книга составлена из записок лекций, прочитанных первым автором в институте Тата в Бомбее в декабре 1985 – январе 1986 г. Основной темой этих лекций является идея представления со старшим весом, воплощенная в четырех различных инкарнациях.
Первым воплощением этой идеи являются канонические коммутационные соотношения бесконечномерной алгебры Гейзенберга (осцилляторной алгебры). Несмотря на свою простоту, этот пример не только содержит в зародыше основные черты теории, но и служит основой для построения большинства представлений бесконечномерных алгебр Ли.
Второе воплощение — это представления старшего веса алгебры Ли $gl_\infty$ бесконечных матриц вместе с их приложениями к теории солитонов, открытыми Сато и группой Дате—Джимбо—Кашивара—Мива. Основным моментом здесь является изоморфизм между вертексной реализаций фундаментальных представлений алгебры Ли $gl_\infty$ и их реализацией в «море Дирака». Изоморфизм этот представляет собой некоторую разновидность бозонно-фермионного соответствия.
Третье воплощение — это унитарные представления старшего веса аффинных алгебр Каца—Муди (алгебр токов). Поскольку сейчас уже издана книга, посвященная теории алгебр Каца—Муди, мы решили уделить им минимум внимания.
В наших лекциях аффинные алгебры играют существенную роль только в конструкции Сугавары в качестве основного инструмента изучения четвертого воплощения основной идеи—теории представлений старшего веса алгебры Вирасоро.
Основные результаты теории представлений алгебры Вирасоро, доказанные в этих лекциях, суть детерминантная формула Каца и унитарность «дискретных серий» представлений Белавина—Полякова—Замолодчикова и Фридана—Ки—Шенкера.
Мы надеемся, что это элементарное введение в предмет, написанное математиком и физиком, будет полезным как для математиков, так и для физиков: для математиков — поскольку оно иллюстрирует на важных примерах взаимосвязь ключевых идей теории представлений бесконечномерных алгебр Ли, а для физиков — поскольку эта теория буквально на наших глазах превращается в важную составляющую таких областей теоретической физики, как теория солитонов, теория двумерных статистических моделей и теория струн.
Основная цель лекций 13-18 в том, чтобы продемонстрировать, как ключевые понятия теории вертексных алгебр, такие как квантовые поля, их нормально упорядоченное произведение и $\lambda$-скобки, поля энергии-импульса и конформные веса, скрученные и нескрученные представления, упрощают и проясняют конструкции, рассмотренные в лекциях 1-12.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *