Делимость и простые числа

Делимость и простые числа
978-5-4439-0340-8
Издательство МЦНМО

Живое, но строгое изложение, когда все теоремы доказываются, а идеи и конструкции мотивируются и используются в задачах.

Признаки делимости, простые и составные числа, алгоритм Евклида, основная теорема арифметики: о делимости для школьников 7–9 классов.

полистать globalf5 litres




При изложении курса «Делимость и простые числа» есть два основных подхода. Первый ставит во главу угла логику изложения: все утверждения доказываются, а не доказанные не используются. Второй делает упор на задачах: основная теорема арифметики формулируется сразу и без доказательства, что позволяет не заниматься теоретическими тонкостями, а сразу же решать содержательные задачи.

Здесь автор выбрал средний путь. Принципиально важным в математическом курсе доказывать (раньше или позже) все утверждения. Однако без задачного подкрепления доказательства теорем часто превращаются в формальные тексты. Например, чего стоит для восьмиклассника данное без подготовки утверждение:«Для любых взаимно простых a и b найдутся такие x и y, что ax + by = 1»!

Поэтому этапы доказательств растянулись на несколько занятий кружка, в которых используемые идеи и конструкции
мотивируются и используются в задачах. В результате этапы доказательств стали доступны, а по ходу решаются интересные задачи. Правда, в ходе «размазывания» этапов затемнилась логическая структура доказательства основной теоремы арифметики.
Краткая схема доказательства для учителя и подготовленного ученика:
1. Вводится понятие простого числа и доказывается, что любое число раскладывается на простые множители; при этом вопрос однозначности не изучается (занятие 4).
2. Вводится алгоритм Евклида (занятие 5).
3. С помощью алгоритма Евклида доказывается основная лемма (занятие 6).
4. Из основной леммы выводится теорема о простом делителе (занятие 7).
5. Из теоремы о простом делителе выводится однозначность разложения на простые множители (занятие 8).

Также в занятии 6 из основной леммы выводятся теоремы о взаимно простых делителях и о сокращении множителя (но в минимальной логической схеме они необязательны).

У этой книги есть продолжение: К.А.Кноп, «Азы теории чисел»
978-5-4439-0340-8 pic

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *