Два фрагмента абстрактной арифметики

Два фрагмента абстрактной арифметики
978-5-4439-2497-7
Издательство МЦНМО

Далеко идущие обобщения формул обращения Мёбиуса. Обобщения асимптотического закона распределения простых чисел.

полистать globalf5 litres




Фрагменты, о которых пойдёт речь, ближе всего связаны с элементарными фактами комплексной теории функций и теории чисел. Первая глава посвящена далеко идущим обобщениям формул обращения Мёбиуса. Во второй главе речь идёт об асимптотическом законе распределения простых чисел, точнее говоря, о его обобщениях.
Формулы обращения были открыты Мёбиусом в 30-е годы XIX века. Некоторые частные случаи были обнаружены в записных книжках Гаусса. Однако в общем объёме Гаусс наверняка их раньше не знал, поскольку (весьма добросовестный) Мёбиус на Гаусса не ссылается. Скорее всего они не обсуждали эту тему, хотя Мёбиус учился у Гаусса (наблюдательной астрономии).
Впоследствии формулы Мёбиуса несколько раз переоткрывались, например, П. Л. Чебышёвым и Риманом, безусловно независимо, поскольку ни тот, ни другой на Мёбиуса не ссылаются (кстати, Риман не ссылается и на Чебышёва ни в связи с функцией Мёбиуса, ни по другим поводам, хотя это имя ему было заведомо известно, так как упомянуто в его архиве).
В XX веке были найдены многочисленные и разнообразные обобщения.
Формулы Мёбиуса распадаются на две пары. Первая пара формул похожа на дискретную свёртку Вольтерры, причём формула обращения включает функцию Мёбиуса.

Формулировка асимптотического закона распределения простых чисел (PNT) вместе с обобщениями обнаружена в записных книжках Гаусса. В начале 50-х годов XIX века очень близко подошёл к доказательству П. Л. Чебышёв. Знаменитый мемуар Римана «Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Gr¨osse» был опубликован в 1859 г. В этом небольшом по объёму, но богатом по содержанию сочинении часть утверждений приводится с ясными доказательствами, тогда как по поводу других Риман ограничивается намёками. Последнее относится и к PNT. Так или иначе, но принято считать, что первые полные доказательства асимптотического закона были получены Адамаром и Валле-Пуссеном в 1896 г. PNT допускает различные обобщения. Например, хорошо известно, что теореме Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии можно придать асимптотическую форму, которая сводится к PNT, когда в качестве прогрессии берётся весь натуральный ряд. Во второй главе рассматриваются другие обобщения PNT: обычные числовые системы заменяются абелевыми группами и полугруппами с определёнными свойствами. Описанные в тексте обобщения среди прочего проясняют ряд фактов, касающихся исходных объектов. Например, «чистая асимптотика» может замениться на медленное колебание.

Текст в целом должен быть доступен студентам старших курсов и аспирантам математических специальностей.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *