Геометрия в негеометрических задачах.

Геометрия в негеометрических задачах.
978-5-4439-1031-4
Издательство МЦНМО

Мощный геометрический подход к решению задач, сформулированных на языке арифметики, алгебры, комбинаторики, тригонометрии или математического анализа.

В этой книжке показано, как перевести условие задачи на язык геометрии, после чего показать красоту и эффективность геометрического метода ее решения.

полистать globalf5 litres




Обратиться к заявленной теме автора побудила не только любовь к школьной геометрии и наличие давно собираемой большой коллекции задач, допускающих геометрические методы решения (часть из которых были известны автору еще до того, как они были опубликованы в тех или иных книгах для учителя). Исходя из многолетнего опыта работы со школьниками, следует отметить, что многие школьники воспринимают школьные курсы алгебры и геометрии (а впоследствии и раздел тригонометрии) как совершенно независимые, в то время как они (и не только они) являются частью одной науки—математики. Вместе с тем наиболее красивые, а часто и наиболее рациональные решения многих задач возникают, если привлекать методы из других разделов математики. В частности, очень мощным является «геометрический подход» к решению некоторых задач, условие которых сформулировано на языке арифметики, алгебры, комбинаторики, тригонометрии или математического анализа. Это объясняется прежде всего тем, что геометрия—наиболее наглядный раздел математики.
В этой книжке серии «Школьные математические кружки», посвященной геометрическому решению негеометрических задач, сделана попытка продемонстрировать, каким образом можно перевести условие задачи на язык геометрии, после чего показать красоту и эффективность геометрического метода ее решения. Книжка содержит девять занятий математического кружка. В материалы каждого занятия входят: вступительный и поясняющий текст учителя, включающий в себя несколько подробно разобранных типовых задач по теме; упражнения и задачи, которые могут быть предложены учащимся для самостоятельного решения (как на занятии, так и дома); подробные решения этих задач; методические комментарии для учителя, отмеченные чертой на полях. Многие из предлагаемых задач имеют и другие, не геометрические решения, которые сознательно оставлены за рамками этого издания.
978-5-4439-3031-2
В конце книги приведены дополнительные задачи различного уровня трудности, часть из которых в какой-то степени дублирует задачи, предложенные для занятий, а часть дополняет их новыми идеями (наиболее сложные задачи отмечены знаком *). Эти задачи можно использовать на усмотрение преподавателя (или обучающегося). Для них также, как правило, приведены подробные решения (в наиболее простых случаях—ответы и указания).
Отметим, что за рамками книжки остались задачи на геометрическое суммирование, а также геометрический подход к задачам на переливание, так как эти темы многократно и достаточно полно излагаются в других источниках. Кроме того, в нее не включен раздел, связанный с геометрическими иллюстрациями к доказательству ряда простых алгебраических соотношений и к реализации некоторых числовых алгоритмов. Читатели, которых заинтересует этот и сопутствующий ему материал, могут найти его в источниках, указанных во второй части списка литературы (раздел «Дополнительная литература»).
Краткое содержание занятий.
Занятие 1. Расстояния на прямой и не только. Занятие доступно учащимся 6—7 классов. Посвящено геометрическому подходу к алгебраическим и комбинаторным задачам, связанным с модулем числа.
Занятие 2. Расстояния на координатной плоскости. Занятие ориентировано на учащихся 8—9 классов. Посвящено использованию декартовой системы координат для решения некоторых уравнений, систем уравнений, задач на наибольшее и наименьшее значения. Идейно продолжает линию, намеченную в занятии 1.
Занятие 3. Задачи на движение. Занятие ориентировано на учащихся 8—9 классов. Посвящено графическим и геометрическим методам решения текстовых задач, связанных, как правило, с равномерным движением нескольких объектов.
Занятие 4. Используем метрические теоремы геометрии. Занятие ориентировано на учащихся 9 классов. Посвящено решению уравнений, систем уравнений и задач на наибольшее и наименьшее значения с помощью теоремы Пифагора, теорем синусов и косинусов, формул для вычисления площадей.
Занятие 5. Тригонометрия. Занятие ориентировано на учащихся 9—10 классов. Рассматриваются тригонометрические формулы, тождества и неравенства, которые можно доказать геометрическими методами. С помощью геометрии вычисляются значения ряда тригонометрических выражений.
Занятие 6. Используем векторы. Занятие ориентировано на учащихся 9—10 классов. Посвящено применению векторов на плоскости к решению ряда задач, которые традиционно относят к алгебраическим или тригонометрическим.
Занятие 7. Обратные тригонометрические функции. Занятие ориентировано на учащихся 10 классов. Рассматриваются геометрические методы вычислений значения выражений, доказательства тождеств и решения уравнений, связанных с обратными тригонометрическими функциями.
Занятие 8. Расстояния и векторы в пространстве. Занятие ориентировано на учащихся 10—11 классов. Посвящено различным задачам, условие которых можно интерпретировать с помощью расстояний в декартовой системе координат в пространстве, а также задачам, решение которых эффективно использует векторы в пространстве. Продолжает линии, намеченные в занятиях 2 и 6.
Занятие 9. Геометрический смысл интеграла. Занятие ориентировано на учащихся 11 классов. Рассматриваются геометрические методы вычисления определенных интегралов, геометрические интерпретации некоторых свойств определенных интегралов и другие задачи, связанные с интегралами и допускающие геометрический подход.
Понятно, что преподаватель математического кружка (или учитель на уроках и факультативных занятиях) может по своему усмотрению использовать только часть предложенных занятий, использовать эти занятия для более старших школьников, поменять порядок их изучения и т. д.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *