Классические средние в арифметике и геометрии

Классические средние в арифметике и геометрии
978-5-4439-2397-0
Издательство МЦНМО

В одном из древнегреческих текстов, который приписывают древнегреческому математику Архиту (примерно 428–365 гг. до нашей эры), среднее арифметическое m, среднее геометрическое g и среднее гармоническое h определялись как равные члены арифметической, геометрической и гармонической «пропорций» соответственно:
1) a − m = m − b;
2) a : g = g : b;
3) (a − h) : a = (h − b) : b.

Рассказ о классических средних величинах и о применении их свойств при решении арифметических, алгебраических и геометрических задач

полистать globalf5 litres




Предлагаемая книжка содержит достаточно небольшой вводный текст, содержащий основные определения и объясняющий происхождение классических средних, а также десять тематических занятий математического кружка, разбитых на два раздела. В материалы каждого занятия входят: вступительный и поясняющий текст учителя, включающий в себя несколько подробно разобранных типовых задач по данной теме; задачи, которые могут быть предложены учащимся для самостоятельного решения (как на занятии, так и дома); подробные решения этих задач; методические комментарии для учителя. В разделе приложений представлен обширный список дополнительных задач различного уровня трудности, часть из которых в какой-то степени дублирует задачи, предложенные для занятий, а часть — дополняет их новыми идеями. Эти задачи можно использовать на усмотрение преподавателя (или обучающегося). Для них приведены, как правило, подробные решения (в наиболее простых случаях — ответы и указания).
Для удобства в конце каждого занятия приведён список задач из этого раздела, которые имеет смысл использовать для закрепления материала, контроля его освоения и углубления. Следует учесть, что есть задачи, которые отнесены к нескольким занятиям (поскольку допускают различные подходы). Кроме того, для удобства преподавателей в разделе приложений помещён раздаточный материал.

На рисунке ниже найдите отрезки, длины которых равны среднему арифметическому, среднему геометрическому и среднему гармоническому чисел a и b соответственно;
используя найденные отрезки, докажите неравенство для этих трёх средних;
проведя дополнительное построение, найдите отрезок, равный среднему квадратичному чисел a и b, и завершите доказательство неравенства о средних;
обоснуйте, в каком случае во всех рассмотренных неравенствах достигается равенство.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *