Лекции по аналитической геометрии

Лекции
по аналитической геометрии

978-5-4439-3064-0
Издательство МЦНМО

,

Мой тезис состоит в том, что сущность аналитической геометрии состоит в изучении геометрических мест с помощью их уравнений и что это было известно грекам и служило основой их исследования конических сечений.
Уильям Кулидж

Конспект лекций по обязательному курсу аналитической геометрии первого курса механико-математического факультета МГУ.

полистать mccme litres




Учебное пособие содержит конспект лекций по обязательному курсу аналитической геометрии, читаемому авторами на протяжении ряда лет для студентов первого курса механико-математического факультета МГУ.
Основной особенностью данного курса, впервые прочитанного первым автором, а затем переработанного вторым, является помещение в центр внимания теории конических сечений, что позволило, наряду с обычными аналитическими конструкциями, более явно представить геометрическую сторону предмета.
В классической греческой геометрии, относящейся к периоду 350––150 лет до н. э., два труда занимают особое место. Первый –– это знаменитые «Начала» Евклида, систематизировавшие многое из того, что было известно математикам того времени, включая то, что мы называем сейчас элементарной геометрией. Второй труд, принадлежащий Аполлонию из Перги (около 260––170 гг. до н. э.), по сути ознаменовал начало новой, аналитической геометрии. Речь идет о «Конических сечениях», трактате из 8 книг, из которых до нас дошли только 7 (известна также реконструкция восьмой книги, предложенная современником И. Ньютона и знаменитым астрономом Э. Галлеем). Любопытно, что интерес греков к коническим сечениям возник еще в IV веке до н. э. в связи со знаменитой задачей об удвоении куба, которую можно рассматривать как задачу о нахождении точки пересечения двух парабол: x^2=y и y^2=2x.
Среди предшественников Аполлония в этом направлении следует упомянуть ученика Евдокса и современника Платона Менехма, Гиппократа Хиосского и Аристея. В частности, Аристей в работе «О про-
странственных местах» уже рассматривал три различных типа конических сечений: эллипс, гиперболу и параболу.
Аполлоний начинает с описания этих кривых, используя так называемый метод приложения площадей. Если говорить в современных терминах, то он выводит их уравнения в системе координат, оси которой –– диаметр кривой и касательная в одной из концевых точек.
В своем фундаментальном труде Аполлоний исследовал основные свойства этих кривых, фокусы, сопряженные диаметры, касательные и заложил начала теории поляр. Единственное, что отделяло его от современной аналитической геометрии коник, –– отсутствие удобной системы обозначений, которую принесла в математику значительно позже алгебра, пришедшая с арабского Востока.
Заслуга введения такой системы обозначений (которой мы пользуемся до сих пор!) принадлежит великому Рене Декарту, чья «Геометрия», изданная в 1637 году, по праву считается основополагающей для современной аналитической геометрии. Сама идея использовать алгебру в геометрии высказывалась ранее другим замечательным математиком, современником Декарта, Пьером Ферма, исходившим из работ александрийских математиков, в частности Аполлония. Именно Ферма впервые установил, что уравнения первой степени задают прямые, а второй –– конические сечения.
Открытие метода координат дало толчок к развитию всей математики, для которой XVII век стал эпохой расцвета. Создание математического анализа стало одной из важнейших вех, а знаменитые «Математические начала натуральной философии» И. Ньютона, появившиеся в 1687 году, ознаменовали появление новой области естествознания –– математической физики.
Что касается геометрии, то образовались три ее новые ветви: алгебраическая, проективная и дифференциальная геометрия. Мы остановимся лишь на одной из них: проективной геометрии, имеющей непосредственное отношение к нашему курсу.
Истоки проективной геометрии берут свое начало в теории перспективы в живописи эпохи Возрождения. Один из первых математических трудов в этом направлении был написан французским архитектором и инженером Жераром Дезаргом в 1639 году. Название его замечательно: «Черновой набросок подхода к явлениям, происходящим при встрече конуса с плоскостью». Новизна точки зрения Дезарга состоит в том, что он рассматривает конические сечения как проекции окружности. Дезарг вводит «бесконечно удаленные точки», гармонические четверки, разрабатывает теорию поляр и доказывает знаменитую теорему о треугольниках, носящую теперь его имя.
В том же году юный Блез Паскаль (в возрасте 16 лет!) пишет «Опыт о конических сечениях», где он доказывает замечательное свойство шестиугольника, вписанного в коническое сечение (теорема Паскаля о «мистической гексаграмме»), которое тоже естественно отнести к проективной геометрии.
Последовавшее бурное развитие анализа бесконечно малых привело к смещению интереса математиков в сторону математического анализа, и расцвет проективной геометрии начался лишь в XIX веке.
Офицер наполеоновской армии Жан-Виктор Понселе, находясь в русском плену, начал свой знаменитый «Трактат о проективных свойствах фигур», опубликованный в 1822 году. Понселе отталкивался от методов Дезарга. После этого труда проективная геометрия стала рассматриваться как самостоятельная область геометрии. Работы Мёбиуса, Плюккера и Шаля окончательно сформировали ее современный облик.
геометрическое древо


На рисунке изображено (очень условно) древо аналитической геометрии. В этом курсе авторы проходятся по ее стволу, избрав в качестве центрального объекта конические сечения. Элементы алгебраической геометрии появятся лишь эпизодически, дифференциальная и неевклидова геометрия не будут затронуты совсем.
Большое влияние на формирование авторского подхода оказал классический труд XIX века Джорджа Сальмона «Курс аналитической геометрии двух измерений», но он давно является библиографической редкостью.
Оригинальный взгляд на предмет представлен в книге Дарбу «Принципы аналитической геометрии», но она вряд ли может быть основой стандартного курса. «Наглядная геометрия» Гильберта и КонФоссена –– еще один замечательный источник, который авторы настоятельно рекомендуют в качестве дополнения к своему курсу.
Естественным дополнением лекций являются Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре и Методическое пособие, разработанные на кафедре высшей геометрии и топологии МГУ.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *