Начальный курс топологии в листочках: задачи и теоремы

Начальный курс топологии в листочках: задачи и теоремы
978-5-4439-1036-9
Издательство МЦНМО

Материал этой книги должен быть в общих чертах известен хорошему матшкольнику и продвинутому первокурснику-математику.

Результаты общей топологии, широко применяемые в анализе и геометрии. По материалам лекций и упражнений в Независимом московском университете и на факультете математики Высшей школы экономики

полистать mccme






Эта книга рассчитана на студента младших курсов, знакомого с основами математического мышления (хорошего школьного учебника математики достаточно).
Можно читать ее по частям или целиком; например, решать задачи, пропуская текст лекций. «Геометрическая» часть задач и лекций (первый том) не очень связана с алгебраической (второй том, готовится к печати), а лекции (часть III) дополняют листки с задачами (часть II). Задачи разбиты на две группы (простые задачи без звездочки и сложные –– со звездочкой), можно решать либо все простые задачи, либо все сложные, либо и те и другие.
Настоящая книга является первой частью записок курса, программа которого в немалой степени основана на программе матшколы и содержит материал, который в общих чертах известен хорошему матшкольнику. Предполагается, что полный курс будет состоять из двух частей, алгебры и геометрии. В этом томе читатель найдет задачи и лекции по геометрии и топологии. В приложении приводятся необходимые определения и задачи по основам анализа (определение поля вещественных чисел).

Последние 3––4 листка по геометрии и по алгебре повторяют друг друга, местами дословно. Дело в том, что группа Галуа устроена аналогично фундаментальной группе, а накрытие топологического пространства –– конечному расширению полей. Пользуясь этой аналогией, Гротендик построил фундаментальную группу, пользуясь только алгебраическими методами (этот раздел математики называется этальной геометрией).
В. И. Арнольд прочел основанный на этой аналогии курс теории Галуа в физико-математической школе-интернате 18; впоследствии его лекции были записаны В. Б. Алексеевым («Теорема Абеля в задачах и решениях»).
В силу того что методы топологии и алгебры в этих разделах столь схожи, теорию Галуа, фундаментальную группу и накрытия можно (и нужно) изучать по одному плану. Взаимовлияние алгебраических и геометрических идей –– это магистральное направление всей математики (а в последнее время –– и теоретической физики), а математик, который владеет только одним из этих аппаратов, не лучше инвалида.

В этой книге есть две независимые части, основанные на одной и той же программе: цикл лекций и цикл задач. Они в немалой степени повторяют друг друга. По сути это два разных курса, излагающих один и тот же материал.
Листочки составлены таким образом, чтобы решение всех задач со звездочкой из одного листка было несколько менее трудоемко, чем решение всех задач без звездочки из этого же листка. Студенту имеет смысл прочесть все задачи и усвоить их формулировку, затем решить все задачи со звездочкой, если задачи без звездочки для них не трудны и их решение кажется бессмысленной затратой труда.
Задачи с восклицательным знаком надо решать всем.
Таким образом, каждый листочек представляет собой сразу два курса –– один для продвинутых студентов, которые в общих чертах знают программу, другой –– для начинающих.
Формально говоря, для понимания листочков достаточно школьной программы и знания основных определений теории множеств (вложение, наложение, ограничение отображения, классы эквивалентности). Многие школьные учебники (например, учебник Колмогорова) уже содержат все нужные определения.
Для решения некоторых задач со звездочкой (особенно в конце курса геометрии) и хорошего понимания остального материала необходимо немного подробнее ознакомиться с теорией множеств, в частности, научиться пользоваться леммой Цорна. Об этом см. главу 4 части I.
Остальные лекции читать не обязательно, для владения материалом вполне достаточно прорешать задачи. С другой стороны, пытаться решать задачи подряд и в изоляции от преподавателей и товарищей тоже не очень полезно –– всегда есть риск застопориться на какой-то тривиальной вещи и застрять надолго. В нормальной учебной обстановке такая проблема решается просто: надо спросить другого студента или преподавателя. Если их нет, надо походить, подумать, почитать книжку, попробовать изучить контекст, подумать о том, как исторически возникли такие вещи в математике. Проще всего выяснить это (если знать английский язык), сделав поиск на нужные ключевые слова в Интернете. Но в случае, если Интернет не работает, или если это слишком трудно, или просто чтобы отдохнула голова, можно посмотреть лекции, сопутствующие этому листочку. Они адресованы студенту, которому задач недостаточно, но читать их можно и независимо.
Также в лекциях содержится английский перевод ключевых слов и краткий список литературы, полезной для данного предмета.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *