Теория представлений. Начальный курс

Теория представлений. Начальный курс
978-5-4439-2545-5
Издательство МЦНМО

,

Конечно же, то, чего мы в итоге достигаем, вряд ли отражает современное состояние дел в теории групп и алгебр Ли. Но мы надеемся, что в результате взгляд читателя не потухнет, когда он услышит доклад, начинающийся со слов: «Пусть G –– полупростая группа Ли, P –– параболическая подгруппа…»

Подробный учебник по классической теории (конечномерных) представлений групп и алгебр Ли. Изложение «от частного к общему» и большое количество конкретных примеров.

полистать

mccme



Теория представлений — это наука о том, каким образом данная группа может действовать на векторных пространствах. Однако же среди прочих столь же просто описываемых разделов математики эта теория, вероятно, является предметом наиболее широкого интереса. Это не удивительно: действия групп в математике двадцатого века возникали повсеместно, а в ситуациях, когда объект, на котором действует группа, не является векторным пространством, мы научились заменять его таковым (в качестве примеров можно назвать группы когомологий, касательные пространства и т. д.). Как следствие, многие математики, не являвшиеся специалистами в этой области (и даже не стремившиеся стать в ней специалистами), соприкасались с ней в различных ситуациях. Этот текст написан как раз для таких людей. Эта книга — учебник для начинающих, а не справочник.

Эта концепция определяет выбор представленных здесь тем. Каким бы простым ни было приведенное выше определение теории представлений, эта область разбивается на существенно разные части, если посмотреть на нее ближе. Во-первых, с какой группой мы имеем дело: с конечной, с бесконечной дискретной, с группой Ли или, может быть, с группой Ли над локальным полем?..
Понятно, что в этих ситуациях требуются существенно различные подходы к представлениям соответствующих групп. А на каком векторном пространстве действует группа G: на векторном пространстве над C, R, Q или, может быть, над полем конечной характеристики? Конечна или бесконечна его размерность, а если бесконечна, то какими дополнительными структурами (нормой, скалярным произведением, …) снабжено это пространство? Различные комбинации ответов на эти вопросы ведут в разные области интенсивных исследований в теории представлений; было бы естественно сделать так, чтобы книга, призванная готовить специалистов по этой теории, в конечном счете приводила бы в одну или несколько из этих областей. Соответственно, авторы такой книги стремятся проскочить через элементарный материал как можно быстрее: если за семестр планируется дойти до модулей Хариш-Чандры, то времени топтаться на представлениях конкретных групп не остается.
В этой книге, напротив, мы концентрируем внимание на простейших случаях: представлениях конечных групп и групп Ли в конечномерных вещественных и комплексных векторных пространствах. Это в некотором смысле общая основа для всей теории, в частности для тех ее областей, интерес к которым происходит извне.

Намерение адресовать эту книгу неспециалистам в какой-то степени определяет и наш способ подачи материала. Основная особенность нашего изложения состоит в том, что мы рассматриваем массу примеров.
Общую теорию мы развиваем по минимуму, в основном –– как полезный язык, позволяющий единообразно описать явления, уже отмеченные в ряде конкретных случаев. Действуя в том же духе, мы в основном вводим теоретические понятия там, где они оказываются полезными для анализа конкретных ситуаций, и откладываем их введение как можно дольше там, где они используются для доказательства каких-либо общих теорем.

Разумеется, утверждение о том, что начинающие лучше всего учатся именно на примерах, а общую технику следует вводить медленно и только в случае необходимости, не является ошеломляюще новым; однако же в нашем случае оно представляется особенно уместным. В большинстве областей такой подход означает, что имеется несколько примеров из бесконечного их множества, которые могут прояснить общую ситуацию. Однако же случай теории представлений комплексных полупростых групп и алгебр Ли является особым: проработав все примеры –– «классические» случаи специальной линейной, ортогональной и симплектической групп, –– читатель получает не просто ряд полезных примеров, а все случаи, кроме пяти «исключительных».
Вот именно такого подхода мы по существу и придерживаемся.Мы начинаем с небольшой экскурсии по теории представлений конечных групп,акцентируя внимание на том, что окажется полезным в теории групп Ли. Поэтому мы уделяем симметрической группе больше внимания, чем это делается обычно. Затем мы обращаемся к группам и алгебрам Ли. Изложив кое-какие предварительные сведения и разобрав маломерные примеры, а также изложив в одной лекции общие понятия, связанные с полупростотой, мы подходим к основной части нашего курса: построению конечномерных представлений классических групп.

Цель шести заключительных лекций –– построить мост между ориентированным на примеры подходом из предыдущей части книги и общей теорией. Здесь мы пытаемся проинтерпретировать в абстрактных тер-
минах увиденное нами раньше и устанавливаем связь с современными понятиями. Развиваемая нами общая теория позволяет понять, что мы изучили все простые комплексные алгебры Ли за вычетом пяти исключений. Поскольку они встречаются реже, чем классические серии, возможно, в начальном курсе не имеет смысла рассматривать эти представления столь же явно, хотя мы и проделываем это для одной из пяти исключительных алгебр.

Конечно же, то, чего мы в итоге достигаем, вряд ли отражает современное состояние дел в теории групп и алгебр Ли. Но мы надеемся, что в результате взгляд читателя не потухнет, когда он услышит доклад, начинающийся со слов: «Пусть G –– полупростая группа Ли, P –– параболическая подгруппа…» Мы также надеемся, что прочтение этой книги подготовит некоторых из читателей к тому, чтобы оценить красоту (и эффективность) абстрактного подхода.

Разумеется, отсутствие оптимизации изложения и ограниченность поставленных нами задач имеют свою цену. Самое очевидное следствие такого подхода состоит в том, что, что значительная часть материала опущена: например, мы мало говорим об основных топологических, дифференциальных и аналитических свойствах групп Ли, поскольку они не сильно помогают в нашем рассказе и, кроме того, хорошо освещены в десятках других источников, в том числе в университетских учебниках по многообразиям. Далее, в курс не вошли бесконечномерные представления, модули Хариш-Чандры и Верма, диаграммы Штифеля, когомологии алгебр Ли, анализ на симметрических пространствах и на группах, арифметические группы и автоморфные формы; также ничего не говорится о теории представлений в характеристике p>0.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *