Удивительный мир четырехмерных многообразий

Скорпан А.

Классика и современность четвёртого измерения

Размерность 4 совсем не похожа на все другие размерности. Допустим, задано замкнутое топологическое многообразие M:

  • в размерности 3 на M существует в точности одна гладкая структура;
  •  в размерности 5 и выше на M существует не более конечного числа гладких структур;
  •  существует много односвязных замкнутых четырехмерных многообразий, допускающих бесконечно много различных гладких структур; неизвестны такие гладкие четырехмерные многообразия, которые имеют только конечное число гладких структур.

полистать mccme

 


Для открытых многообразий положение дел еще более удивительно: во всех размерностях, отличных от 4, топологическое многообразие R^𝑛 допускает единственную гладкую структуру. Однако топологическое четырехмерное многообразие R^4 допускает бесконечно много различных гладких структур.  Все известные до сих пор открытые четырехмерные многообразия также допускают бесконечно много различных гладких структур, но неизвестно, все ли открытые четырехмерные многообразия таковы.

Размерность 4 в некотором смысле можно представлять себе как пограничный нестабильный случай: эта размерность уже достаточно велика, чтобы в ней могли появляться разнообразные особенности и эффекты больших размерностей, но еще слишком мала, чтобы можно было упрощать или контролировать эти особенности и эффекты.

А.Скорпан  дает удобный обзор дифференциальной топологии в размерности 4, представляющий ее глобальную картину, основные результаты и некоторые технические средства и старающийся передать дух этого предмета. Важные результаты получаются на стыке алгебраической топологии, геометрической топологии, комплексной алгебраической геометрии, дифференциальной геометрии и глобального анализа.

skorp pic

Книга охватывает как классические разделы: теорему об h-кобордизме, свойства формы пересечения, комплексные поверхности — так и более современные: классификация топологических многообразий, существование экзотических гладких структур в четырехмерном евклидовом пространстве, теории Дональдсона и Зайберга—Виттена. Обсуждаются приложения последней к кэлеровым поверхностям и симплектическим многообразиям, а также к классическим проблемам топологии — нахождению минимального рода вложенных поверхностей и предъявлению бесконечных семейств попарно гомеоморфных, но не диффеоморфных четырехмерных многообразий.

Расположение материала хорошо продумано, так что  можно погружаться в материал на разную глубину: бегло познакомиться с предметом; изучить систему  основных понятий, методов и конструкций; и, наконец, разобраться в деталях доказательств.
Изложение геометрически наглядно; книга содержит 274 рисунка, обширный список литературы и подробный трехуровневый предметный указатель.
Книга будет полезна студентам математических и физических факультетов, начиная со второго курса, а также аспирантам и научным работникам.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *